一旦定义了矩阵乘法,就可以利用函数的幂级数来定义矩阵的函数,这其中就包含矩阵的指数函数。
如果 A 是一个矩阵,那么
就为矩阵 A 的指数函数形式。
如果 A 是一个对角矩阵,即
,
则由此验证
从而得到
如果 不是一个对角矩阵,
则利用酉变换可以将它对角化,
。
从而有
那么,类似地
必须要引起注意的是
当
是表示数的时候等号是成立的,那么,当
表示是矩阵时,等式成立要满足什么条件?
通常,下面这种表达形式被称之为以 A 为生成元而构成的酉变换;
这种矩阵的指数运算可以利用数值计算软件 Matlab 中的 expm,或者 Mathematica 中的 MatrixExp 命令进行方便地计算。