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常见逻辑门以及含义

5.1 Hadamard (H) 门

Hadamard 门是一种可将基态变为叠加态的量子逻辑门，有时简称为 H 门。Hadamard 门作用在单比特上，它将基态 $|0\rangle$ 变成 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$ ，将基态 $|1\rangle$ 变成 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$

Hadamard 门矩阵形式为

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

其在线路上显示如图图 2.2.6.1 所示：

图 2.2.6.1

假设，H 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为:

$|\Psi ^{'}\rangle=H|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} \alpha+\beta \\ \alpha-\beta \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha+\beta)|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha-\beta)|1\rangle$

5.2 Pauli-X 门

Pauli-X 门作用在单量子比特上，它是经典计算机 NOT 门的量子等价，将量子态进行翻转，量子态变化方式为：

$|0\rangle \rightarrow |1\rangle$

$|1\rangle \rightarrow |0\rangle$

Pauli-X 门矩阵形式为泡利矩阵 $\sigma _{x}$ ，即:

$X=\sigma _{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Pauli-X 门矩阵又称 NOT 门；其在线路上显示如图 2.2.6.2 所示：

图 2.2.6.2

假设，NOT 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为:

$|\Psi ^{'}\rangle=X|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \beta \\ \alpha \end{bmatrix} = \beta|0\rangle+\alpha|1\rangle$

5.3 Pauli-Y 门

Pauli-Y 门作用在单量子比特上，作用效果为绕 Bloch 球 Y 轴旋转角度π，Pauli-Y 门的矩阵形式为泡利矩阵 $\sigma _{y}$ ，即:

$Y=\sigma _{y}=\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}$

其在线路上显示如图 2.2.6.3 所示：

图 2.2.6.3

假设，Pauli-Y 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为:

$|\Psi ^{'}\rangle=Y|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -i\beta \\ i\alpha \end{bmatrix} = -i\beta|0\rangle+i\alpha|1\rangle$

5.4 Pauli-Z 门

Pauli-Z 门作用在单量子比特上，作用效果是绕 Bloch 球 Z 轴旋转角度π，Pauli-Z 门矩阵形式为泡利矩阵 $\sigma _{z}$ ，即:

$Y=\sigma _{y}=\begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}$

其在线路上显示如图 2.2.6.4 所示：

图 2.2.6.4

假设，Pauli-Z 门作用在任意量子态 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ 上面, 得到新的量子态为:

$|\Psi ^{'}\rangle=Z|\psi\rangle=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \alpha \\ -\beta \end{bmatrix} = \alpha|0\rangle-\beta|1\rangle$