上面讲述了集合,然而有的集合之间并不是完全孤立的,而是有对应关系的。比如,中国四大名著的作者组成的集合 A 与四大名著 B 之间存在对应关系。
将这种普遍的共性抽象出来,设 D、 E 是两个非空集合,如果存在一个对应法则 f,使得对 D 中每个元素 x,按照对应法则 f,在 E 中有唯一确定的元素 y 与 x 对应, 则称 f 为从 D 到 E 的映射[1,3],记作
其中 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,并记作,
即
。
而元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的一个原像;集合 D 为映射 f 的定义域;集合 E 称为映射 f 的陪域; D 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域,记作
或
,即
其中符号 表示存在,
可以看出,
的值域是
的陪域的子集。
集合 D 到自身一个映射,通常称为 D 上额一个变换。集合 D 到数集 E 的一个映射,常称为从 D 到 E 的函数。
如果映射 f 与映射 g 的定义域、陪域、对应法则分别对应相同,那么称这两个映射相等。
映射 如果把 D 中每一个元素对应到它自身,即
那么称 f 为恒等映射(或 D 上的恒等变换),记作。
先后施行映射
和
,
得到
到
的一个映射, 称为 f 与 g 的合成(或乘积),记作
。 即
定理 映射的乘法适合结合律。即如果
那么